PREMIERE PARTIE
EXPOSITION DE LA THEORIE,
AVEC SES PRINCIPAUX USAGES DANS L'ANALYSE
Chapitre I.
Développement en série
d'une fonction d'une variable, lorsqu'on attribue un accroissement
à cette variable. Formation successive des termes de la
série. Théorème important sur la nature de ces
séries.
Chapitre II.
Fonctions dérivées;
leur notation et leur algorithme.
Chapitre III.
Fonctions dérivées des
puissances, des quantités exponentielles et logarithmiques,
des sinus, cosinus, et des expressions composées de ces
fonctions simples. Equations dérivées.
Chapitre IV.
Digression sur la manière de
déduire les séries qui expriment les exponentielles,
les logarithmes, les sinus, cosinus et les arcs de simples
considérations algébriques.
Chapitre V.
Du développement des
fonctions lorsqu'on donne à la variable une valeur
déterminée. Cas dans lesquels la règle
générale est en défaut. Des valeurs des
fractions dont le numérateur et le dénominateur
s'évanouissent en même temps. Des cas singuliers
où le développement de la fonction ne procède
pas suivant les puissances positives et entières de
l'accroissement de la variable.
Chapitre VI.
Résolution
générale des fonctions en séries.
Développement des fonctions en séries terminées
et composées d'autant de termes qu'on voudra. Moyen d'exprimer
les restes depuis un terme quelconque proposé.
Théorème nouveau sur ces séries.
Chapitre VII.
Des équation
dérivées et de leur usage dans l'Analyse pour la
transformation des fonctions. Théorie générale
de ces équations et des constantes arbitraires qui y
entrent.
Chapitre VIII.
Où l'on examine les cas
simples dans lesquels on peut passer des fonctions ou des
équations dérivées du premier ordre aux
fonctions ou aux équations primitives. Des équations
linéaires des différents ordres, et de celles qu'on
peut rendre linéaires.
Chapitre IX.
Des valeurs singulières qui
ne sont pas comprises dans les équations primitives
complètes. Des équations primitives
singulières.
Chapitre X.
De l'emploi des fonctions
dérivées dans l'Analyse, et de la détermination
des constantes arbitraires. Application à la sommation des
suites et à la résolution des équations du
troisième degré.
Chapitre XI.
Où l'on donne
l'équation primitive d'une équation du premier ordre,
dans laquelle les variables sont séparées, mais
où l'on ne peut point obtenir directement les fonctions
primitives de chacun des deux membres. Propriétés
remarquables des ces fonctions primitives.
Chapitre XII.
Du développement des
fonctions de deux variables. De leur fonctions
dérivées. Notation de ces fonctions et conditions
auxquelles elles doivent satisfaire. Loi générale qui
règne entre les termes du développement d'une fonction
de plusieurs variables et ceux qui résultent du
développement de ces termes eux-mêmes.
Chapitre XIII.
Où l'on donne la
manière de développer les fonctions d'un nombre
quelconque de variables en séries terminées et
composées d'autant de termes qu'on voudra, et d'avoir la
valeur des restes.
Chapitre XIV.
Des équations
dérivées d'une équation entre trois variables.
Des fonctions arbitraires qui entrent dans les équations
primitives complètes entre trois variables.
Chapitre XV.
Formule remarquable pour le
développement en série d'une fonction quelconque de
l'inconnue z de l'équation z = x+y f(z)
Chapitre XVI.
Méthode
générale pour trouver l'équation primitive d'un
équation du premier ordre entre plusieurs variables, lorsque
les fonctions dérivées sont linéaires, et pour
trouver l'équation primitive d'une équation quelconque
du premier ordre entre trois variables.
SECONDE PARTIE
APPLICATION DE LA THEORIE DES
FONCTIONS A LA GEOMETRIE
Chapitre I.
Des différentes
manières dont on a considéré les tangentes.
Théorie des tangentes et des contacts de différents
ordres, d'après les principes de la Géométrie
ancienne.
Chapitre II.
Des lignes droites tangentes, des
cercles tangents et du lieu de leurs centres. Des cercles osculateurs
et du lieu de leurs centres. Analyse générale du
contact des courbes planes. Du contact dans les cas singuliers, et
des lignes asymptotes.
Chapitre III.
Problèmes directs et inverses
sur le contact des courbes. Analyse des cas où l'on propose
une relation entre les deux éléments du contact du
premier ordre. De la courbe représentée par
l'équation primitive singulière d'une équation
du premier ordre.
Chapitre IV.
Des contacts du second ordre.
Théorie et construction des équations primitives
singulières dans les ordres supérieurs. Exemple
contenant la théorie analytique des
développées.
Chapitre V.
Des plus grandes et des moindres
valeurs des fonctions d'une variable.
Chapitre VI.
De la mesure des aires, et de la
longueur des arcs dans les courbes planes. De la mesure des
solidités et de celle des surfaces des conoïdes. Principe
général de la solution analytique de ces
questions.
Chapitre VII.
Théorie du contact des
courbes à double courbure. Du rayon osculateur, des centres de
courbure et du lieu de ces centres. Des développées des
courbes à double courbure. Quadrature et rectification de ces
courbes.
Chapitre VIII.
Des surfaces courbes et de leurs
plans tangents. Théorie du contact des surfaces courbes. Des
contacts des différents ordres.
Chapitre IX.
Des sphères osculatrices. Des
lignes de la plus grande et de moindre courbure.
Propriétés de ces lignes.
Chapitre X.
Solution de ces questions dans
lesquelles on propose une relation entre les éléments
du contact du premier ordre des surfaces courbes. Construction de
cette solution. Equation des surfaces
développables.
Chapitre XI.
Des plus grandes et des moindres
ordonnées des surfaces courbes. Solution
générale des questions de maximis et minimis.
Manière de distinguer les maxima des minima dans les fonctions
de plusieurs variables.
Chapitre XII.
Des questions de maximis et minimis
qui se rapportent à la méthode des variations. De
l'équation commune au maximum et au minimum, et des
caractères propres à distinguer les maxima des minima.
Chapitre XIII.
Extension de la méthode
précédente aux fonctions d'un nombre quelconque de
variables. Problème de la brachistochrone. Caractères
pour distinguer si une fonction proposée est ou non une
fonction prime, ou en général une fonction
dérivée d'un certain ordre.
Chapitre XIV.
De la mesure des solidités et
des surfaces des corps de figure donnée.
TROISIEME PARTIE
APPLICATION DE LA THEORIE DES
FONCTIONS A LA MECANIQUE
Chapitre I.
De l'objet de la Mécanique.
Du mouvement uniforme et du mouvement uniformément
accéléré. Du mouvement rectiligne en
général. Relation entre l'espace, la vitesse, et la
force accélératrice.
Chapitre II.
De la composition des mouvements, et
en particulier de celle de trois mouvements uniformes. De la
composition et décomposition des vitesses et des forces. De la
trajectoire des projectiles dans le vide.
Chapitre III.
Du mouvement curviligne. Des
vitesses et des forces dans ce mouvement. Equations
générales du mouvement d'un corps sollicité par
des forces quelconques. De la manière d'éliminer le
temps dans ces équations pour trouver la courbe décrite
par le corps.
Chapitre IV.
De la question où il s'agit
de trouver la résistance que le milieu doit opposer pour que
le projectile décrive une courbe donnée. Analyse de la
solution que Newton a donné de ce problème dans la
première édition de ses Principes. Source de l'erreur
de cette solution. Distinction entre la méthode des
séries et celle des fonctions dérivées, ou du
Calcul différentiel.
Chapitre V.
Du mouvement d'un corps sur une
surface donnée, ou assujetti à certaines conditions. Du
mouvement de plusieurs corps liés entre eux. Des
équations de condition entre les coordonnées de ces
différents corps, et de la manière d'en déduire
les forces qui résultent de leur action mutuelle.
Démonstration générale du principe des vitesses
virtuelles.
Chapitre VI.
De la loi du mouvement du centre de
gravité. De la loi des aires dans la rotation autour d'un axe
fixe, ou d'un seul point fixe, ou autour du centre de gravité
dans les systèmes libres.
Chapitre VII.
De la loi des forces vives dans le
mouvement d'un système animé par des forces
accélératrices quelconques. De la conservation des
forces vives dans le choc des corps élastiques. De la perte de
ces forces dans le choc des corps durs, ou en général
dans les changements brusques que le système peut
éprouver. De la somme des forces vives dans les situations
d'équilibre. Remarques générales sur
l'économie de ces forces dans les machines.
NOTE
Théorie des fonctions analytiques ;
par J.-A. Serret.
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