A. L'intégrale de Lebesgue-Stieltjes.
Quelques théorèmes de la théorie de l'intégrale de Lebesgue. - Quelques inégalités pour les fonctions à p-ième puissance sommable. - La convergence asymptotique. - La convergence en moyenne. - L'intégrale de Stieltjes. - Le théorème de Lebesgue.
B. Ensembles et opérations mesurables (B) dans les espaces métriques.
Espaces métriques. - Ensembles dans les espaces métriques. - Opérations dans les espaces métriques.
I - Groupes.
Définition des espaces du type (G). - Propriétés des sous-groupes. - Opérations additives et linéaires. - Un théorème sur la condensation des singularités.
II - Espaces vectoriels généraux.
Définition et propriétés élémentaires des espaces vectoriels. - Extension des fonctionnelles additives et homogènes. - Applications: généralisation des notions d'intégrales, de mesure et de limite.
III - Espaces du type (F).
Définition et préliminaires. - Opérations homogènes. - Séries d'éléments. Inversion des opérations linéaires. - Fonctions continues sans dérivée. - La continuité des solutions des équations différentielles aux dérivées partielles. - Systèmes d'équations linéaires à une infinité d'inconnues.
IV - Espaces normés.
Définitions des espaces vectoriels normés et des espaces du type (B). - Propriétés des opérations linéaires. Extension des fonctionnelles linéaires. - Ensembles fondamentaux et ensembles totaux d'éléments. - Forme générale des fonctionnelles linéaires. - Suites fermées et complètes. - Approximation des fonctions par des combinaisons linéaires de fonctions. - Le problème des moments. - Conditions pour l'existence des solutions de certains systèmes d'équations à une infinité d'inconnues.
V - Espaces du type (B).
Opérations linéaires dans les espaces du type (B). - Principe de condensation des singularités. - Espaces du type (B) compacts. - Espaces du type (B) formés de fonctions mesurables. - Exemples des opérations linéaires dans quelques espaces particuliers du type (B). - Quelques théorèmes sur les méthodes de sommation.
VI - Opérations totalement continues et associées.
Opérations totalement continues. - Exemples des opérations totalement continues dans quelques espaces particuliers. - Opérations conjuguées (associées). - Applications. Exemples des opérations conjuguées dans quelques espaces particuliers.
VII - Suites biorthogonales.
Définition et propriétés générales. - Suites biorthogonales dans quelques espaces particuliers. - Bases dans les espaces du type (B). - Quelques applications à la théorie des développements orthogonaux.
VIII - Fonctionnelles linéaires dans les espaces du type (B).
Préliminaires. - Ensembles régulièrement fermés de fonctionnelles linéaires. - Ensembles transfiniment fermés de fonctionnelles linéaires. - Convergence faible des fonctionnelles linéaires. - Ensembles faiblement fermés de fonctionnelles linéaires dans les espaces du type (B) séparables. - Conditions pour la convergence faible des fonctionnelles linéaires. - Compacticité faible d'ensembles bornés dans certains espaces. - Fonctionnelles linéaires faiblement continues définies dans les espaces des fonctionnelles linéaires.
IX - Suites faiblement convergentes d'éléments.
Définition. Conditions pour la convergence faible des suites d'éléments. - Relation entre la convergence faible et forte. - Espaces faiblement complets. - Un théorème sur la convergence faible d'éléments.
X - Equations fonctionnelles linéaires.
Relations entre les opérations linéaires et les opérations conjuguées avec elles. - La théorie de Riesz des équations linéaires totalement continues. - Valeurs régulières et valeurs propres dans les équations linéaires. - Théorèmes de Fredholm dans la théorie des équations linéaires totalement continues. - Equations intégrales de Fredholm. - Equations intégrales de Volterra. - Equations intégrales symétriques.
XI - Isométrie, équivalence, isomorphie.
Isométrie. - Transformations isométriques des espaces vectoriels normés. - Espace des fonctions réelles continues. - Rotations. - Isomorphie et équivalence. - Produits des espaces du type (B). - Espace (C) comme l'espace universel. - Espaces conjugués.
XII - Dimension linéaire.
Définitions. - Dimension linéaire.
Annexe - Convergence faible dans les espaces de type (B).
Les dérivées faibles des ensembles de fonctionnelles linéaires. - Convergence faible des éléments.
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