I - 1
PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L'ARITHMETIQUE
H. Schubert - J. Tannery - J. Molk
Notion de nombre naturel.
1. Nombre cardinal.
2. Collections finies et infinies.
3. Suite naturelle des nombres. Zéro.
4. Nombre ordinal.
5. Introduction du nombre d'après Dedekind et Peano.
6. Invariance du nombre.
7. Critique de la notion du nombre.
Numération.
8. Premiers systèmes de numération.
9. Numération décimale. Principe de position.
Opérations directes et inverses.
10. Généralités sur les opérations.
11. Principe de permanence.
Opérations de rang un.
12. Addition.
13. Progression arithmétique.
14. Soustraction.
15. Combinaison de l'addition avec la soustraction.
16. Zéro.
17. Nombres négatifs.
Opérations de rang deux.
18. Multiplication.
19. Division.
20. Combinaison de la division avec l'addition, soustraction et la multiplication.
21. Nombres fractionnaires.
22. Nombres relationnels relatifs.
23. Origine concrète de la notion de fraction.
24. Opérateurs de Méray et de Peano.
25. Fractions systématiques.
Opérations de rangs plus élevés que deux.
26. Puissances.
27. Racines.
28. Logarithmes.
29. Remarques finales.
_____ I - 2
ANALYSE COMBINATOIRE ET THEORIE DES DETERMINANTS
E. Netto - H. Vogt
Analyse combinatoire.
1. Aperçu historique.
2. Opérations fondamentales.
3. Permutations rectilignes et permutations circulaires.
4. Arrangements et combinaisons.
5. Inversions.
6. Séquences.
7. Permutations réciproques.
8. Permutations soumises à des conditions restrictives.
9. Combinaisons ou arrangements soumis à des conditions restrictives.
10. Combinaisons dont les éléments ont une somme donnée. Décomposition d'un nombre en une somme de plusieurs autres.
11. Applications aux produits de facteurs.
12. Autres applications.
13. Ternes ou Triades.
14. Développement de la puissance d'un polynôme.
15. Généralisations.
Déterminants.
16. Aperçu historique.
17. Définitions et notations.
18. Nombre de termes.
19. Propriétés élémentaires des déterminants.
20. Développement d'un déterminant. Mineurs.
21. Produit de deux déterminants. Produit de deux matrices.
22. Composition des systèmes.
23. Déterminants composés formés au moyen des mineurs d'un déterminant.
24. Relations entre les mineurs d'un déterminant ou d'une matrice. Généralisations.
25. Déterminants composés formés au moyen des mineurs de plusieurs déterminants.
26. Rang d'un déterminant ou d'une matrice. Déterminants bordés.
27. Déterminants symétriques.
28. Déterminants centrosymétriques, orthosymétriques. Circulantes. Généralisation.
29. Déterminants gauches. Pfaffiens.
30. Equation séculaire. Généralisation.
31. Déterminants de systèmes orthogonaux. Maximé d'un déterminant.
32. Déterminants spéciaux : wronskiens, jacobiens, hessiens.
33. Alternants. Permanents. Continuants.
34. Déterminants arithmétiques.
35. Déterminants cubiques. Déterminants à plusieurs dimensions.
_____ I - 3
NOMBRES IRRATIONNELS ET NOTION DE LIMITE
A. Pringsheim - J. Molk
Nombres irrationnels.
1. Grandeurs incommensurables.
2. Logistique.
3. Nombres sourds. Michel Stifel.
4. François Viète. René Descartes.
5. Point de vue métrique.
6. Point de vue de Ch. Méray.
7. Point de vue de K. Weierstrass.
8. Point de vue de R. Dedekind.
9. Point de vue de Paul du Bois-Reymond. Postulat d'Ascoli.
10. Point de vue de L. Kronecker.
11. Représentation des nombres irrationnels par des fractions systématiques infinies.
12. Représentation des nombres irrationnels par des fractions continues infinies.
13. Représentations diverses de nombres irrationnels par des suites infinies.
Notion de limite.
14. Origine géométrique de l'idée de limite.
15. Arithmétisation de l'idée de limite.
16. Critère pour l'existence d'une limite. Suites convergentes.
17. Suites simplement divergentes.
18. Infiniments petits.
19. Suites discrépantes. Limite supérieure. Limite inférieure.
20. Borne supérieure et borne inférieure.
21. Calcul des limites. Le nombre e.
22. Expressions qui se présentent sous une forme indéterminée.
23. Croissance relative des suites infinies de nombres.
24. Limites de suites infinies à double entrée.
_____ I - 4
ALGORITHMES ILLIMITES
A. Pringsheim - J. Molk
Séries infinies.
1. Convergence, divergence ; divergence simple, discrépance.
2. Critères de convergence et de divergence pour les séries à termes positifs.
3. Les critères de Gauss.
4. Les critères de Cauchy.
5. Critères complémentaires et échelles de critères complémentaires aux critères de Cauchy.
6. Critère général de Kummer.
7. Recherches de U. Dini, P. du Bois-Reymond et A. Pringsheim.
8. Forme générale des critères de première et de seconde espèce et des séries de comparaison.
9. Echelles de critères généraux de première et de seconde espèce.
10. Autres formes de critères.
11. Comparaison des critères de première et de seconde espèce.
12. Les frontières de la convergence et de la divergence.
13. Convergence absolue et non absolue.
14. Critères applicables aux séries qui peuvent n'être pas absolument convergentes.
15. Addition et multiplication des séries infinies.
16. Séries doubles.
17. Séries multiples.
18. Transformation des séries.
19. Formule sommatoire de L. Euler et de C. Maclaurin. Séries semi-convergentes.
20. Séries divergentes.
21. Cas particulier des séries de puissances.
Produits infinis.
22. Historique.
23. Convergence et divergence.
24. Transformation des produits infinis en séries.
25. Factorielles et facultés analytiques.
Fractions continues.
26. Premières propriétés.
27. Calcul des réduites.
28. Propriétés des réduites de certaines fractions continues.
29. Fractions continues infinies ; convergence, divergence (divergence simple et discrépance).
30. Fractions continues infinies à éléments positifs.
31. Fractions continues à éléments de signes quelconques.
32. Fractions continues périodiques.
33. Transformation des fractions continues infinies.
34. Transformation d'une série infinie en fraction continue.
35. Autres expressions de séries infinies par des fractions continues.
36. Cas des séries de puissances ou du quotient de deux telles séries.
37. Relations entre les fractions continues infinies et les produits infinis.
38. Fractions continues ascendantes.
Déterminants infinis.
39. Historique.
40. Propriétés principales des déterminants infinis.
_____ I - 5
NOMBRES COMPLEXES
E. Study - E. Cartan
Nombres complexes ordinaires.
1. Aperçu historique.
2. Point de vue géométrique de C. Wessel et de J.R. Argand.
3. Module, argument, nombres imaginaires conjugués.
4. Point de vue arithmétique de W.R. Hamilton.
5. Critiques adressées à la théorie précédente.
6. Point de vue des équivalences algébriques de A.L. Cauchy.
7. Limites. Séries.
8. Logarithmes naturels des nombres complexes.
9. Puissances à exposants complexes ; logarithmes de base complexe.
10. Une nouvelle extension de la notion de nombre est-elle possible ?
11. Représentation de certains groupes de transformations à l'aide des nombres complexes ordinaires.
Nombres complexes d'ordre supérieur.
12. Aperçu historique.
13. Généralités sur les systèmes de nombres.
14. Systèmes d'ordre fini ; systèmes de nombres complexes.
Le calcul extensif de Grassmann.
15. Généralités.
16. Multiplication progressive.
17. Multiplication régressive.
18. Multiplication intérieure.
19. Applications.
20. Clefs algébriques de A.L. Cauchy.
Les systèmes de nombres complexes à multiplication associative.
21. Généralités.
22. Equivalence. Types. Formes. Réductibilité.
23. Systèmes à deux, trois ou quatre unités.
24. Le système des quaternions.
25. Les systèmes de nombres complexes à multiplication commutative. Point de vue de Kronecker.
26. Les systèmes de nombres complexes et le calcul des formes bilinéaires.
27. Classification des systèmes de nombres complexes.
28. Les facteurs irréductibles des fonctions caractéristiques.
29. Les systèmes simples à coordonnées réelles.
30. Les groupes de substitutions finis discrets et les systèmes de nombres complexes.
31. Formule de Sylvester. Racine m-ième et logarithme naturel d'un nombre complexe.
32. Fonctions analytiques d'une variable complexe.
33. Equations algébriques entières à inconnue complexe.
34. Les systèmes de nombres complexes et les groupes de transformations.
35. Représentation de certains groupes de transformations au moyen des quaternions et des biquaternions. Calculs géométriques.
36. Les systèmes de Clifford et de Lipschitz.
37. Les systèmes de nombres complexes dans un domaine de rationalité donné.
38. Les octaves de Graves et de Cayley.
_____ I - 6
ALGORITHMES ILLIMITES DE NOMBRES COMPLEXES
A. Pringsheim - M. Fréchet
1. Limite d'une suite de nombres complexes.
2. Séries infinies à termes complexes.
3. Convergence absolue. Critères de convergence absolue.
4. Convergence non absolue.
5. Multiplication et addition des séries complexes.
6. Produits infinis.
7. Fractions continues infinies.
8. Déterminants infinis.
_____ I - 7
THEORIE DES ENSEMBLES
A. Schoenflies - R. Baire
Historique.
1. La notion d'ensemble.
2. La notion de dénombrabilité et le continu.
3. Première introduction des nombres transfinis.
Les ensembles transfinis.
4. La puissance ou nombre cardinal.
5. Opérations sur les puissances.
6. Les ensembles dénombrables.
7. Les ensembles non dénombrables.
8. Les ensembles ordonnés.
9. Opérations sur les types d'ordre.
10. Séries fondamentales.
11. Les ensembles bien ordonnés.
12. Les nombres transfinis.
Théorie des ensembles de points.
13. Notions générales.
14. Ensembles dérivés de tous les ordres.
15. Ensembles denses et non denses.
16. Théorèmes généraux.
17. Ensembles de première catégorie.
18. Ensembles de points dans l'espace à n dimensions.
19. La mesure des ensembles.
Compléments.
20. Extension de la notion d'exponentiation.
21. Ensembles abstraits.
22. Remarques finales.
_____ I - 8
SUR LES GROUPES FINIS DISCONTINUS *
H. Burkhardt - H. Vogt
Groupes de substitutions.
1. Historique.
2. Permutations et substitutions.
3. Représentation des substitutions.
4. Produits et inverses de substitutions.
5. Ordre d'une substitution.
6. Groupe de substitutions. Sous-groupes.
7. Transivité.
8. Primitivité.
9. Classe.
10. Groupes de degré donné.
11. Sous-groupes invariants. Composition.
12. Isomorphisme. Groupes réguliers.
Groupes généraux.
13. Notion générale de groupe.
14. Table de Cayley. Groupes de substitutions isomorphes à un groupe général.
15. Isomorphismes d'un goupe avec lui-même.
16. Sous-groupes d'un groupe donné.
17. Groupes d'ordre donné.
18. Groupe dérivé d'opérations ou d'éléments donnés.
Groupes spéciaux.
19. Groupes abéliens.
20. Groupes de commutateurs.
21. Groupes dont l'ordre est une puissance d'un nombre premier.
22. Groupes hamiltoniens.
23. Caractères des groupes abéliens.
24. Caractères d'un groupe quelconque. Déterminant d'un groupe.
* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.
Directeurs :
