II - 1
PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA THEORIE DES FONCTIONS
A. Pringsheim - J. Molk
I. Aperçu historique.
1. Origine de la notion de fonction.
2. Classification des fonctions d'après Euler.
3. Notion générale de fonction.
II. Fonctions d'une variable réelle.
4. Variables réelles.
5. Fonction univoque (réelle) d'une variable (réelle).
6. Borne supérieure, borne inférieure, écart des bornes d'une fonction.
7. Limites et limites d'indétermination.
8. Infinis d'une fonction et de son argument.
9. Fonctions continues.
10. Fonctions dérivables.
11. Fonctions monotones par sections et fonctions ordinaires.
12. Fonctions indéfiniment dérivables.
13. Valeurs impropres d'une fonction. Formes indéterminées.
14. Classification des discontinuités.
15. Points singuliers.
16. Définition des fonctions au moyen de passages à la limite. Convergence uniforme.
17. Convergence uniforme des séries.
18. Condensation des singularités.
19. Fonctions admettant un nombre infini de discontinuités dans un intervalle fini.
20. Fonctions continues admettant un nombre infini de singularités dans un intervalle fini.
III. Fonctions de plusieurs variables réelles.
21. Domaine de n variables.
22. Fonctions univoques de n variables. Fonctions continues.
23. Passages à la limite simultanés et passages à la limite successifs.
24. Convergence uniforme vers une fonction-limite.
II - 2 RECHERCHES CONTEMPORAINES SUR LA THEORIE DES FONCTIONS
Rédigé sous la direction de E. Borel
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LES ENSEMBLES DE POINTS
L. Zoretti
Généralités.
1. Origines.
2. Les applications.
Propriétés fondamentales des ensembles de points.
3. Les ensembles linéaires. Définitions.
4. Les ensembles dérivés.
5. Le théorème de Cantor-Bendixson.
6. Les ensembles non fermés.
7. La puissance des ensembles de points.
8. Les ensembles fermés.
9. Le théorème de Borel et ses généralisations.
La structure des ensembles fermés.
10. Classification des ensembles fermés.
11. Les continus superficiels.
12. Les continus linéaires.
13. La frontière d'un continuum.
14. Les ensembles partout discontinus.
15. Les ensembles fonctions d'un paramètre.
Les correspondances entre domaines continus à m et n dimensions.
16. La puissance du continu à n dimensions.
17. Les correspondances continues et réciproques entre domaines de dimensions différentes.
La mesure des ensembles.
18. La définition de Cantor.
19. La mesure pour Jordan.
20. La mesure pour Borel et Lebesgue.
Les applications de la théorie des ensembles.
21. Les applications à la théorie générale des fonctions.
22. Les applications à la théorie des fonctions de variables réelles.
23. Les applications à la théorie des fonctions de variables complexes.
24. les applications à la géométrie de situation.
Les généralisations.
25. Les ensembles de droites.
26. Le calcul fonctionnel.
_____ INTEGRATION ET DERIVATION
P. Montel
Intégrale définie des fonctions bornées d'une variable.
27. Intégrale de Cauchy.
28. Intégrale de Riemann.
29. Intégrales par défaut et par excès de Darboux.
30. Intégrale de Lebesgue.
31. Définition géométrique de l'intégrale.
Intégrale définie des fonctions non bornées.
32. Intégrales de Cauchy et de Dirichlet.
33. Intégrales de Lebesgue.
34. Autres généralisations de la notion d'intégrale.
35. Propriétés de l'intégrale de Lebesgue.
Intégration des séries.
36. Intégrabilité des fonctions limites.
37. Intégrabilité terme à terme.
Dérivées et fonctions primitives.
38. Propriétés des nombres dérivés.
39. Propiétés des dérivées.
40. Intégrabilité des dérivées et des nombres dérivés.
41. Existence des dérivées.
42. Détermination d'une fonction à l'aide de sa dérivée ou de l'un de ses nombres dérivés.
43. Recherche effective de la fonction primitive d'un nombre dérivé donné ou d'une dérivée donnée.
44. Fonctions qui sont des intégrales indéfinies.
Intégrales et dérivées des fonctions de plusieurs variables.
45. Fonctions mesurables.
46. Dérivées partielles.
47. Dérivation des intégrales indéfinies.
48. Intégration des équations aux dérivées partielles.
_____ DEVELOPPEMENTS EN SERIES
M. Fréchet
Séries de fonctions d'une variable.
49. Les séries uniformément convergentes de fonctions continues.
50. Le théorème de Weierstrass.
51. Interpolation.
52. Convergence quasi-uniforme.
53. Les fonctions limites de fonctions continues.
54. Les classes de fonctions de Baire.
55. Convergence en moyenne.
56. Mesure de la convergence.
57. Les fonctions représentables analytiquement.
Série de fonctions de plusieurs variables.
58. Les fonctions de plusieurs variables.
La représentation trigonométrique des fonctions.
59. Les développements en séries trigonométriques.
60. Séries de Fourier quelconques.
61. Sommation des séries de Fourier.
62. Convergence des séries de Fourier.
63. Divergence des séries de Fourier.
64. Ordre d'approximation.
65. Autres développements.
_____ II - 3
CALCUL DIFFERENTIEL
A. Voss - J. Molk
Aperçu historique.
1. Origine de l'analyse infinitésimale.
2. Découverte du calcul différentiel.
3. Développement du calcul différentiel.
Fonctions d'une variable.
4. Définition de la dérivée d'une fonction.
5. Dérivées des fonctions élémentaires.
6. Dérivées des fonctions de fonctions.
7. Fonctions continues non dérivables.
8. Dérivée à droite. Dérivée à gauche.
9. Dérivées supérieures et inférieures.
10. Dérivées du second ordre. Dérivées d'ordre quelconque.
11. Théorème des accroissements finis.
12. Différentielles.
Fonctions de plusieurs variables.
13. Dérivées partielles.
14. Extension du théorème des accroissements finis aux fonctions de plusieurs variables. Différentielle totale.
15. Dérivation des fonctions composées de fonctions d'une seule variable.
16. Dérivation des fonctions composées de fonctions de plusieurs variables.
17. Dérivées des fonctions implicites.
18. Dérivées partielles d'ordre quelconque.
19. Différentielles totales d'ordre quelconque.
20. Différentielles totales d'ordre quelconque d'une fonction composée.
Applications analytiques.
21. Premières recherches sur les développements de Taylor et de Maclaurin.
22. Formule de Taylor.
23. Formule de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables.
24. Extension de la formule de Taylor.
25. Série de Taylor.
26. Fonctions analytiques d'une variable réelle.
27. Maximés et minimés des fonctions d'une variable.
28. Extrémants d'une fonction de plusieurs variables.
29. Recherches de Peano, Scheeffer, Stolz et von Dantscher.
30. Extrémés liés.
31. Dérivation d'ordre n d'une fonction de fonction. Changement de variables.
Directeurs :
