II - 15
EXISTENCE DE L'INTEGRALE GENERALE.
DETERMINATION D'UNE INTEGRALE PARTICULIERE PAR SES VALEURS INITIALES
P. Painlevé
Position de la question.
1. Définitions et problèmes fondamentaux.
2. Etat de la théorie avant Cauchy.
Méthode de Cauchy-Lipschitz.
3. Principe de la méthode.
4. Perfectionnement de Lipschitz.
5. Intervalle exact de convergence de la méthode.
6. Intégrales premières d'un système différentiel.
7. Application de la méthode au champ complexe.
8. Cas où les coefficients différentiels sont continus sans satisfaire aux conditions de Lipschitz.
Méthode des approximations successives.
9. Principes et résultats de la méthode.
10. Corollaires.
Méthode de calcul des limites.
11. Principe et résultats de la méthode.
12. Développemnt de la méthode.
13. Détermination unique d'une solution par les conditions initiales.
14. Extension du domaine de convergence de la méthode.
Méthode de la variation des constantes.
15. Exposé de la méthode.
Méthode de la recherche des intégrales premières.
16. Exposé de la méthode.
Singularités ordinaires des coefficients différentiels.
17. Conditions initiales pour lesquelles certains des fi sont méromorphes et infinis.
18. Conditions initiales constituant une singularité algébrique des fi.
19. Systèmes différentiels algébriques d'ordre n.
20. Application aux équations du premier ordre. Intégrales singulières.
21. Cas où l'équation du premier ordre est algébrique.
22. Comparaison avec la théorie des enveloppes.
23. Intégrales singulières d'un système différentiel d'ordre quelconque.
Singularités non ordinaires du coefficient différentiel d'une équation du premier ordre.
24. Travaux de Briot et Bouquet relatifs aux équations xy' = ax + by + ...
25. Travaux de Picard et de Poincaré.
26. Méthode de Poincaré et compléments.
27. Cas général où f est méromorphe et de la forme 0/0.
28. Cas où f est algébroïde pour x = 0, y = 0.
29. Applications au domaine réel.
30. Travaux de Bendixson et de Horn.
31. Caractéristiques des équations du second degré.
Singularités non ordinaires des coefficients différentiels d'un système d'ordre quelconque.
32. Théorème général de Poincaré.
33. Compléments au théorème précédent.
34. Détermination, dans les cas exceptionnels, de classes de solutions particulières.
35. Cas général où les coefficients différentiels sont méromorphes.
36. Application au domaine réel.
37.Solutions asymptotiques réelles.
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METHODES D'INTEGRATION ELEMENTAIRES.
ETUDE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES
AU POINT DE VUE FORMEL
E. Vessiot
Introduction.
1. Enoncé du problème général de l'intégration d'un système d'équations différentielles ordinaires.
2. Aperçu historique sur le problème de l'intégration formelle.
3. Changements de variables. Problèmes d'équivalence.
4. Théories rationnelles d'intégration.
Equations du premier ordre.
5. Séparation des variables.
6. Facteur intégrant.
7. Méthodes de Lie.
8. Comparaison des transcendantes.
9. Equation de Jacobi. Méthode de Darboux. Extensions de cette méthode.
10. Equation linéaire. Equation de Riccati. Généralisations.
11. Equations non résolues. Emploi de la différentiation. Interprétation géométrique. Solutions singulières.
12. Emploi des transformations de contact. Types intégrables. Classes diverses d'équations du premier ordre.
13. Emploi des coordonnées homogènes. Principe de l'intégration graphique.
Systèmes d'équations du premier ordre.
14. Systèmes de multiplicateurs.
15. Le multiplicateur de Jacobi.
16. Méthodes de Lie. Intégration d'un système qui admet des transformations infinitésimales connues, ou un groupe dont les équations de définition sont connues.
17. Introduction d'un groupe à paramètre associé au système. Invariants. Systèmes invariants. Invariants intégraux.
18. Equations aux variations. Rapprochements entre les théories précédentes.
19. Recherche et usage des intégrales particulières.
Equations d'ordre n.
20. Multiplicateur d'Euler.
21. Cas d'abaissement.
22. Equations qui admettent des groupes de transformations.
23. Equations non résolues. Types intégrables.
Equations linéaires d'ordre n.
24. Notions générales. Systèmes fondamentaux de solutions.
25. Equations à coefficients constants. Méthode de d'Alembert.
26. Equations avec second membre. Variation des constatntes.
27. Elimination entre deux équations linéaires. Cas d'abaissement.
28. Equation admettant un système fondamental de solutions donné. Décompositions en facteurs symboliques.
29. Fonctions différentielles rationnelles des solutions. Fonctions invariantes. Transformations.
30. Equations associées. Equations adjointes. Représentations géométriques.
31. Equation linéaire du second ordre.
Systèmes linéaires.
32. Extension des théories précédentes aux systèmes linéaires.
Systèmes à solutions fondamentales.
33. Diverses définitions des systèmes de Lie. Théorie de l'intégration de ces systèmes.
34. Généralisations diverses des systèmes de Lie.
35. Systèmes automorphes.
Classes diverses de systèmes différentiels.
36. Cas où l'intégrale générale dépend algébriquement des constantes arbitraires. Systèmes corrélatifs. Systèmes d'Engel.
Problèmes d'équivalence.
37. Enoncé du problème. Emploi des invariants différentiels.
38. Invariants des équations linéaires.
39. Invariants de diverses classes d'équations.
Théories rationnelles d'intégration.
40. Domaine de rationalité. Irréductibilité.
41. Théorie de Picard et Vessiot pour les équations linéaires.
42. Problèmes qui se rattachent à la théorie précédente: intégration algébrique;réductibilité linéaire; utilisation de relations connues entre les intégrales.
43. Théorie rationnelle d'intégration des systèmes de Lie. Intégration logique de Drach.
44. Théorie de Drach pour les systèmes quelconques d'équations différentielles ordinaires du premier ordre.
Directeurs :
