ORIGINE DU REPRINT

ENCYKLOPÄDIE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN

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ENCYCLOPEDIE

DES

SCIENCES MATHEMATIQUES

PURES ET APPLIQUEES
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PUBLIEE SOUS LES AUSPICES DES ACADEMIES DES SCIENCES
DE GŒTTINGUE, DE LEIPZIG, DE MUNICH ET DE VIENNE
AVEC LA COLLABORATION DE NOMBREUX SAVANTS
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EDITION FRANCAISE

REDIGEE ET PUBLIEE D'APRES L'EDITION ALLEMANDE SOUS LA DIRECTION DE

JULES MOLK
PROFESSEUR A L'UNIVERSITE DE NANCY
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TOME II

ANALYSE

Volume 5

DEVELOPPEMENTS EN SERIES
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REDIGE DANS L'EDITION ALLEMANDE SOUS LA DIRECTION DE

H. BURKHARDT
(MUNICH)

W. WIRTINGER
(VIENNE)
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Paris, Gauthier-Villars
Leipzig, B.G. Teubner
1912-1914

SOMMAIRE

II - 26

EQUATIONS ET OPERATIONS FONCTIONNELLES

S. Pincherle

Opérations fonctionnelles.
1. Le calcul fonctionnel.
2. Calcul fonctionnel de Leibniz à Lagrange.
3. Calcul des symboles jusqu'à Servois.
4. Lois du calcul par symboles.
5. Développement de ces lois.
6. Opérations distributives.
7. Symboles distributifs simples.
8. Dérivées à indice quelconque.
9. Calcul de généralisation d'Oltramare.
10. Equations symboliques linéaires à coefficients constants.
11. Les formes différentielles linéaires.
12. Les formes linéaires aux différences finies.
13. Applications diverses du calcul par symboles.
14. Les opérations linéaires dans un espace à nombre fini de dimensions.
15. Les opérations linéaires dans un espace fonctionnel.
16. Les séries de puissances comme éléments d'un espace fonctionnel.
17. L'espace fonctionnel général.
18. Les fonctions de lignes.
19. Expression analytique des opérations linéaires.
20. Espace fonctionnel à modules finis.
21. Opérations linéaires représentées par des intégrales définies.
22. La transformation de Laplace.
23. Fonctions déterminantes.
24. Opérations spéciales.
25. Opérations non linéaires.

Equations fonctionnelles.
26. Equations fonctionnelles en général.
27. Equations fonctionnelles depuis d'Alembert jusqu'à Babbage.
28. L'équation f(x+y) = f(x) + f(y).
29. Equations de Cauchy.
30. Equation de d'Alembert.
31. Equation de Babbage.
32. Les équations d'Abel et de Schroder.
33. Le calcul d'itération.
34. Itérations particulières.
35. Les fonctions de Koenigs.
36. Formation des itérées.
37. Itération à plusieurs variables. Cas particulier.
38. Itération à plusieurs variables; cas général.
39. Equations fonctionnelles à plusieurs variables.
40. Interprétation géométrique: courbes et surfaces invariantes; stabilité.
41. Les équations fonctionnelles dans la théorie des fonctions analytiques.
42. Equations fonctionnelles diverses.
43. Equations opérationnelles.

 

II - 27

INTERPOLATION TRIGONOMETRIQUE

H. Burkhardt - E. Esclangon

Introduction.
1. Définitions.
2. Formules auxiliaires.
3. Historique.

Phénomènes à période connue.
4. Création par Bessel de l'interpolation trigonométrique dans le cas où les valeurs de l'argument sont en progression arithmétique.
5. Interpolation trigonométrique dans le cas où les valeurs données sont quelconques.
6. Interpolation trigonométrique dans le cas de valeurs très nombreuses de l'argument.
7. La méthode de Le Verrier.
8. Interpolation avec des observations manquées.
9. Calcul de la valeur moyenne.
10. Maximé et minimé.
11. Représentation de la marche d'un phénomène périodique à l'aide des moyennes correspondant à des intervalles de courte durée par rapport à la période.
12. Application de l'interpolation trigonométrique aux quadratures mécaniques.
13. Interpolation trigonométrique des fonctions périodiques de deux variables.

Séparation de plusieurs périodes connues.
14. Remarques préliminaires. Commensurabilité théorique et pratiques des périodes.
15. Elimination des perturbations séculaires.
16. Séparation de deux périodes du même ordre de grandeur.
17. Méthode relative aux cas compliqués. Analyse harmonique des marées.
18. Détermination des composantes par les seules observations des maximés et minimés.
19. Méthode abrégée.
20. Réduction de plusieurs termes périodiques à un terme unique d'amplitude et de phase variables.

Recherche des périodicités inconnues.
21. Méthode de Lagrange.
22. Les méthodes de Nervander et Buys-Ballot.
23. Procédé du déplacement des lignes (pulling et pushing).
24. Compléments nouveaux.
25. Critique des méthodes précédentes quand on se place au point de vue du calcul des probabilités.

Méthodes auxiliaires de calcul.
26. Méthodes de calcul relatives à des valeurs particulières du nombre des observations équidistantes contenues dans une période.
27. Méthodes graphiques. Tables et grilles.
28. Utilisation des formules à l'aide d'appareils mécaniques.
29. Analysateurs harmoniques.
30. Méthodes auxiliaires et instrumentales pour la séparation de périodes différentes et la recherche des périodicités inconnues.

 

II - 28

FONCTIONS SPHERIQUES

A. Wangerin - A. Lambert

Préliminaires.
1. Introduction.

Définition des fonctions sphériques.
2. Définition de la fonction sphérique à deux variables.

La fonction sphérique primitive Xn.
3. Introduction des fonctions sphériques fondamentales; leur équation différentielle.
4. La fonction sphérique primitive Xn.
5. Séries représentant Xn.
6. La fonction Xn sous forme de dérivée. Racines de Xn = 0.
7. La fonction Xn sous forme d'intégrale définie. Valeurs asymptotiques pour n très grand.
8. Relations entre des polynômes consécutifs.
9. Propriétés d'intégrales définies.
10. Développement d'une fonction d'une variable en série de fonctions sphériques.
11. Autres modes d'exposition. Tables.

Les fonctions sphériques fondamentales.
12. Nombre de fonctions sphériques indépendantes.
13. Les fonctions fondamentales Xn^p.
14. Le théorème d'addition des fonctions sphériques fondamentales.
15. Autres définitions. Tables.

Les fonctions sphériques générales.
16. Les fonctions sphériques générales se représentent au moyen des fonctions sphériques fondamentales.
17. Représentation de Maxwell et de Thomson et Tait.
18. Propriétés d'intégrales définies.
19. Développement d'une fonction de deux variables en série de fonctions sphériques.
20. Légitimité du développement d'après Dini, Heine, Darboux, Poincaré.
21. Représentations d'après F. Neumann d'une fonction connue pour certains valeurs de la variable au moyen des fonctions sphériques.

Fonctions sphériques de deuxième espèce.
22. La fonction de deuxième espèce Qn.
23. Représentation de F.Neumann? Autres représentations.
24. Racines de Sn.
25. Quelques développements en séries pour Qn et Sn.
26. Qn sous forme d'intégrale.
27. Les fonctions sphériques et les fractions continues.
28. Fonctions adjointes de deuxième espèce.
29. Fonctions dont l'indice supérieur surpasse l'indice inférieur.

Quelques extensions.
30. Fonctions sphériques à indices quelconques.
31. Fonctions annulaires ou toroïdales.
32. Fonctions coniques de Mehler.
33. Fonctions coniques adjointes.
34. Développement d'une fonction en fonctions coniques.
35. Autres fonctions.
36. Fonctions sphériques d'ordre supérieur.
37. Fonctions de N. Nielsen.

Fonctions de Lamé.
38. L'équation de Laplace en coordonnées elliptiques.
39. Définition des fonctions de Lamé.
40. Formation des fonctions de Lamé.
41. Les quatres classes de fonctions de Lamé de première espèce.
42. Analogie avec les fonctions sphériques.
43. Racines des polynômes R.
44. Propriétés d'intégrales définies.
45. Développement d'une fonction en une somme de fonctions de Lamé.
46. Les fonctions de Lamé de deuxième espèce.
47. Recherches d'Hermite sur l'équation de Lamé.
48. Fonctions de Lamé d'ordre supérieur.
49. Extensions de la notion de fonction de Lamé.
50. Fonction de Lamé ayant plus de trois points singuliers à distance finie.
51. Fonctions du cône elliptique.

Fonctions cylindriques ou fonctions de Bessel.
52. Equation différentielle. Séries et intégrales relatives aux fonctions de première espèce.
53. Fonctions de Bessel de deuxième espèce.
54. Les fonctions de seconde espèce comme limites des fonctions de première espèce.
55. Les fonctions cylindriques comme limites des fonctions sphériques.
56. Les fonctions de deuxième espèce sous forme d'intégrales.
57. Relations de récurrence.
58. Développement en fraction continue.
59. Séries semi-convergentes.
60. Racines de l'équation Jn(x) = 0.
61. Théorème d'addition des fonctions de première et de seconde espèce.
62. La fonction On de C. Neumann.
63. Développement d'une fonction analytique suivant les fonctions de Bessel.
64. Sur les développements qui se présentent dans les applications.
65. La série de Schlomilch.
66. Représentation d'une fonction de deux variables au moyen des fonctions de Bessel.
67. Quelques intégrales définies.
68. Les fonctions de Bessel et les équations intégrales.
69. Tables des fonctions de Bessel.

Fonctions des cylindres elliptique et parabolique.
70. Fonctions du cylindre elliptique.
71. Fonctions du cylindre parabolique.

 

II - 28a

GENERALISATIONS DIVERSES DES FONCTIONS SPHERIQUES

P. Appell - A. Lambert

1. Fonctions d'une variable.
2. Fonctions de Laplace de n variables. Fonctions harmoniques généralisées.
3. Polynômes d'Hermite et analogues.
4. Séries hypergéométriques à deux variables et polynômes qui s'y rattachent.
5. Fractions continues et quadratures mécaniques.