II - 31
CALCUL DES VARIATIONS
A. Kneser - E. Zermelo - H. Hahn - M. Lecat
Position de la question.
1. Objet du calcul des variations.
2. Problèmes fondamentaux.
3. Aperçu historique.
4. Extrémé en un point ; extrémé dans un intervalle ; extrémé faible ; extrémé fort.
La variation première et les conditions de premier ordre de l'extrémé libre.
5. Considérations infinitésimales d'Euler.
6. Introduction des variations par Lagrange.
7. Formule fondamentale d'Euler.
8. Variation spéciale résultant de l'introduction d'un paramètre variable.
9. Conditions du premier ordre.
10. Objection de P. du Bois-Reymond.
11. Intégrabilité.
12. Représentation paramétrique ; généralités. Equation d'Euler sous forme paramétrique.
La variation seconde dans le problème de l'extrémé libre.
13. La variation seconde.
14. La condition de Legendre.
15. Transformations de Jacobi.
16. Autres transformations de Jacobi.
17. La condition de Jacobi.
18. Conditions de Legendre et de Jacobi pour Jp.
19. La variation seconde en représentation paramétrique.
La méthode de Weierstrass et les conditions suffisantes de l'extrémé libre.
20. Critique de la méthode de Jacobi-Clebsch. Méthode Weirstrass-Scheeffer pour les conditions suffisantes de l'extrémé faible.
21. Champ d'extrémales.
22. La méthode fondamentale de Weierstrass.
23. Méthode de Hilbert.
24. Conditions de Weirstrass.
25. Conditions nécessaires. Conditions suffisantes.
26. Condition de Jacobi. Compléments.
27. Existence d'une extrémale passant par un point dans une direction donnée, ou joignant deux points.
28. Le théorème d'Osgood.
29. Méthode de Darboux-Kneser.
30. Généralisations de la théorie de Darboux-Kneser.
31. Invariants.
Limites variables.
32. Premières recherches.
33. Un seul point extrême variable. Recherches récentes.
34. Deux limites variables. Recherches récentes.
35. Ligne d'intégration fermée.
Solutions discontinues.
36. La condition de Weierstrass-Erdmann. Famille d'extrémales brisées.
37. Points conjugués sur les extrêmales brisées.
38. Champ d'extrêmales brisées. Conditions suffisantes.
39. Problèmes de variations unilatérales.
40. Problèmes de variations discontinus.
Le problème isopérimétrique.
41. Condition du premier ordre. Règle d'Euler.
42. Conditions de Legendre et de Weierstrass.
43. Points conjugués. Condition de Jacobi.
44. Le théorème fondamental de Weierstrass et les conditions suffisantes dans le problème isopérimétrique.
45. Problème isopérimétrique avec une limite variable.
46. Solutions discontinues et autres recherches sur le problème isopérimétrique.
Le problème de Lagrange.
47. Position du problème.
48. La méthode des multiplicateurs. Cas particuliers.
49. La méthode des multiplicateurs et les conditions du premier ordre. Cas général.
50. Le problème de Mayer.
51. La variation seconde dans le problème de Lagrange.
52. Conditions de Clebsch. Conditions de Jacobi.
53. La condition de Weierstrass.
54. Théorie de Kneser sur les points conjugués.
55. Les conditions suffisantes dans le problème de Lagrange.
56. Limites variables. Théorème d'Osgood.
Intégrales doubles et multiples.
57. Généralités.
58. La variation première et l'équation différentielle de Lagrange.
59. Représentation paramétrique. Invariants.
60. Limite variable.
61. La variation seconde. Conditions qui en résultent.
62. Conditions suffisantes pour extrêmer une intégrale double.
63. Le théorème d'Osgood.
64. Extrémés liés des intégrales doubles.
L'extrémé absolu. Théorèmes d'existence.
65. Généralités.
66. Théorème d'existence de Hilbert.
67. Problèmes de Dirichlet.
68. Théorème de Darboux.
Propriétés des équations du calcul des variations.
69. La méthode de Jacobi-Hamilton.
70. Les équations canoniques de Hamilton-Volterra.
71. Invariants intégraux et autres invariants du calcul des variations.
72. Autres recherches sur les équations du calcul des variations.
Le problème inverse.
73. Le problème inverse pour les équations différentielles du second ordre.
74. Le problème inverse pour les équations différentielles d'ordre supérieur au second.
75. Le problème inverse pour les intégrales doubles ou multiples.
Applications du calcul des variations.
76. Généralités.
77. Applications analytiques ; équations différentielles, aux dérivées partielles, équations intégrales, équations intégro-différentielles.
78. Lignes géodésiques.
79. Surfaces minimées.
80. La plus petite surface de révolution.
81. Les problèmes isopérimétriques.
82. Problème de Newton et questions analogues. Surfaces propulsives.
83. Solides de plus grande attraction. Moments d'inertie.
84. Brachistochrones.
85. Applications à la statique.
86. Conditions d'existence du potentiel cinétique.
87. Applications à la dynamique. L'action. Principes de Maupertuis, de Hamilton.
88. Variation seconde de l'action.
89. Applications à l'optique.
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