III - 22
QUADRIQUES
O. Staude - A. Grévy
Introduction. Plan et ligne droite.
1. Coordonnées.
2. Paramètres directeurs.
3. Transformation des coordonnées.
4. Centre des distances proportionnelles.
5. Droite.
6. Plan.
7. Faisceau de plans.
8. Gerbe de plans. Réseau de plans.
9. Equation normale d'un plan.
10. Eléments imaginaires.
11. Coordonnées tangentielles.
12. Coordonnées de Plucker.
13. Complexes et congruences.
Classification des quadriques?
14. Historique.
15. Les déterminants de la surface du second ordre.
16. Classification par les points doubles.
17. Classification d'après la conique de l'infini.
18. Classification en coordonnées tétraédriques.
19. Classification complète.
20. Les surfaces de seconde classe.
21. Centre.
22. Plans diamétraux, diamètres.
23. Tangentes conjuguées.
24. Les directions principales.
25. Equations canoniques et formes des quadriques.
26. Quadriques particulières.
Quadriques et droites.
27. Intersection d'une droite et d'une quadrique.
28. Rapport anharmonique.
29. Tangentes et plans tangents.
30. Coordonnées tangentielles.
31. Cône circonscrit.
32. Cônes circonscrits particuliers.
33. Le complexe des tangentes.
34. Polygones inscrits et circonscrits.
35. Normales.
36. Généralisation de la notion de puissance et du théorème de Newton.
Les génératrices rectilignes.
37. Notion de génératrice rectiligne.
38. Les deux systèmes de génératrices.
39. Représentation analytique des génératrices rectilignes.
40. Directrices d'un système réglé.
41. Système de quatre droites.
42. Complexes auxquels appartiennent les génératrices rectilignes.
43. Ponctuelles projectives sur les génératrices.
44. Polygones construits sur des génératrices.
45. Ligne de striction d'une quadrique.
Sections planes.
46. Représentation analytique.
47. Classification des sections au point de vue projectif.
48. Classification au point de vue métrique.
49. Relations entre plusieurs sections planes.
50. Les axes d'une section plane.
51. Sections circulaires et ombilics.
52. Sections hyperboliques équilatères.
53. Foyers des sections planes.
54. Rayons de courbure principaux d'une quadrique.
55. Sections planes tangentes.
Pôles et plans polaires.
56. Réciprocité polaire.
57. Système propre.
58. Système polaire singulier.
59. Tétraèdre autopolaire.
60. Polygones autopolaires.
61. Le complexe des axes d'une quadrique.
62. Surfaces des centres de courbure, surfaces parallèles, surfaces dérivées.
Génération et construction des quadriques.
63. Génération par éléments homographiques de même rang. Eléments de rang un.
64. Génération par plans et droites en correspondance homographique. Eléments de rang deux.
65. Génération par correspondance entre points et plans. Eléments de rang trois.
66. Construction d'une quadrique passant par neuf points.
67. Quadrique passant par une conique et quatre points.
68. Générations particulières.
69. Déterminations multiples.
Propriétés focales des quadriques.
70. Le système homofocal.
71. Les focales considérées comme surfaces limites.
72. Les focales, lieux des sommets des cônes de révolution circonscrits.
73. Focales et axes focaux.
74. Les focales comme courbes directrices d'un système polaire.
75. Les foyers, centres de sphères bitangentes de rayon nul.
76. Propriétés focales des surfaces particulières.
77. Relations de deux focales.
78. Propriétés focales au point de vue d'Amiot et de Mac-Cullagh.
79. Théorèmes d'Ivory et de Jacobi.
80. Recherches de Staude.
81. Coordonnées elliptiques et coordonnées paraboliques.
82. Tangentes communes à deux quadriques homofocales.
83. Propriétés focales des lignes de courbure.
Transformations et représentation plane.
84. Correspondance homographique entre deux quadriques.
85. Collinéations de l'espace conservant une quadrique.
86. Représentation analytique des transformations.
87. Les quadriques dans la corrélation générale de l'espace.
88. Réciprocité polaire.
89. Réciprocités polaires qui transforment deux quadriques l'une dans l'autre.
90. Réciprocités polaires qui transforment une quadrique F en elle-même.
91. Transformations quadratiques d'une quadrique.
92. Représentation d'une quadrique sur un plan.
Faisceaux de quadriques.
93. Intersection de deux quadriques.
94. Faisceau ponctuel de quadriques.
95. Faisceau tangentiel.
96. Le discriminant du faisceau.
97. Intersection d'un faisceau ponctuel et d'un plan.
98. Faisceau ponctuel et droite.
99. Polarité relative à un faisceau ponctuel.
100. Points et plans fondamentaux.
101. Classification des faisceaux ponctuels.
102. Réalité des éléments.
103. Faisceaux singuliers.
104. Surfaces ayant une conique commune.
105. Quadriques tangentes le long d'une conique.
106. Faisceaux tangentiels spéciaux.
107. Quadriques de base particulières.
108. Les quadriques et les complexes linéaires.
Les cubiques gauches.
109. Aperçu général.
110. Eléments d'une cubique.
111. Le complexe des transversales.
112. La congruence des cordes.
113. Quadriques passant par une cubique gauche.
114. Polarité relative à une cubique.
115. Tétraèdre osculateur.
116. Tétraèdres de Mobius.
117. Points conjugués.
118. Polyèdres inscrits.
119. Génération des cubiques.
120. Détermination et construction des cubiques gauches.
121. Les cubiques gauches dans le complexe tétraédral.
122. Classification par les points à l'infini.
123. Diamètres.
124. Courbure.
125. Propriétés métriques et propriétés focales.
126. Cubiques particulières.
127. Transformation d'une cubique en elle-même.
128. Formes binaires sur une cubique gauche.
129. Relations invariantes entre deux cubiques gauches et une quadrique.
130. Faisceaux et gerbes de cubiques gauches.
Les quartiques.
131. Aperçu général.
132. Espèces et types.
133. Les singularités.
134. Représentation paramétrique.
135. La congruence des cordes.
136. Les tangentes aux biquadratiques.
137. Les plans tangents aux biquadratiques.
138. Les plans osculateurs à une biquadratique.
139. Le complexe des transversales.
140. Détermination et construction des biquadratiques.
141. Faisceau de biquadratiques situées sur une quadrique.
142. Quadruplet de points.
143. Triplet de points.
144. Théorèmes de fermeture.
145. Transformation de biquadratiques.
146. Projection stéréographique.
147. Réalité et forme des biquadratiques.
148. Biquadratiques particulières.
Réseaux de quadriques.
149. Notion de réseau.
150. Réseau de quadriques coupé par un plan ou une droite.
151. Polarité relative à un réseau.
152. La courbe nodale du réseau.
153. Le système des huit points associés.
154. Réseaux spéciaux.
Systèmes linéaires à trois paramètres.
155. Définition.
156. Polarité.
157. Correspondance homographique entre le système à trois paramètres et l'espace planaire.
158. Surface nodale.
159. Les rayons principaux.
160. Surface de Steiner.
161. Système de quadriques à trois paramètres ayant un ou plusieurs points communs.
162. Système de quadriques à trois paramètres ayant six points communs.
163. Système des premières polaires d'une surface du troisième ordre.
164. Système linéaire de quadriques à trois paramètres ayant une ou deux droites communes.
165. Système de quadriques à trois paramètres ayant une conique commune.
166. Quadriques ayant un tétraèdre conjugué commun.
Systèmes à plus de trois paramètres.
167. Définitions des systèmes ponctuels et tangentiels.
168. Systèmes linéaires ponctuels et tangentiels.
169. Système quadratique.
170. La sphère considérée comme élément de l'espace.
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