1 - Algèbre des événements.
Les relations fondamentales des algèbres d'événements. - Autres opérations et relations. - Construction axiomatique d'une algèbre d'événements. - Sur la structure des algèbres d'événements finies. - Représentation des algèbres d'événements par des algèbres d'ensembles. - Exercices.
2 - La probabilité.
Le rôle du Calcul des Probabilités. - Le concept de probabilité. - Algèbres de probabilité. - Algèbres de probabilité finies. - Probabilités calculables par des considérations combinatoires. - Algèbres de probabilité de Kolmogorov. - Extension des anneaux d'ensembles, algèbres d'ensembles et mesures. - Probabilités conditionnelles. - Evénements indépendants. - Probabilités géométriques. - Algèbres de probabilité conditionnelle. - Exercices.
3 - Variables aléatoires discrètes.
Systèmes complets d'événements et distributions de probabilité. - Le théorème de la probabilité totale et le théorème de Bayes. - Distributions de probabilité classiques. - La notion de variable aléatoire. - Indépendance des variables aléatoires. - Composition de distributions de probabilité discrètes. - La notion d'espérance mathématique pour une distribution discrète. - Quelques théorèmes sur l'espérance mathématique. - L'écart-type. - Quelques théorèmes relatifs à l'écart-type. - Le coefficient de corrélation. - La distribution de Poisson. - Quelques applications de la distribution de Poisson. - Algèbre des distributions de probabilité. - Fonctions génératrices. - Approximation de la distribution binomiale par la distribution normale. - La loi des grands nombres de Bernoulli. - Exercices.
4 - Variables aléatoires quelconques.
Le concept général de variable aléatoire. - Fonction de répartition et densité. - Distributions de probabilité à plusieurs dimensions. - Fonctions de répartition et densités conditionnelles. - Variables aléatoires indépendantes. - La distribution uniforme. - La distribution de Laplace-Gauss. - Distribution d'une fonction d'une variable aléatoire. - Composition des distributions. - Distribution d'une fonction de plusieurs variables aléatoires. - Définition générale de l'espérance mathématique. - Vecteur-espérance des distributions de probabilité à plusieurs dimensions. - Médiane et quantiles. - Ecart-type dans le cas général. - Sur quelques autres mesures de la dispersion. - Variance dans le cas de plusieurs dimensions. - Exercices.
5 - Variables aléatoires (suite).
Variables aléatoires sur des algèbres de probabilité conditionnelle. - Généralisation de la notion de probabilité conditionnelle dans les algèbres de probabilité de Kolmogorov. - Généralisation de la notion de probabilité conditionnelle dans des algèbres de probabilité conditionnelle. - Généralisation de la notion d'espérance mathématique conditionnelle dans les algèbres de probabilité de Kolmogorov. - Généralisation du théorème de Bayes. - Le rapport de corrélation. - Sur quelques autres mesures de la dépendance de deux variables aléatoires. - Le grand théorème de Kolmogorov. - Exercices.
6 - Fonctions caractéristiques.
Variables aléatoires à valeurs complexes. - Les fonctions caractéristiques et leurs propriétés. - Fonctions caractéristiques de quelques distributions importantes. - Quelques théorèmes fondamentaux sur les fonctions caractéristiques. - Propriétés caractéristiques de la distribution de Laplace-Gauss. - Fonctions caractéristiques de distributions à plusieurs dimensions. - Distributions infiniment divisibles. - Distributions stables. - Fonctions caractéristiques de distributions de probabilité conditionnelle. - Exercices.
7 - Les lois des grands nombres.
Inégalité de Tchebychev et inégalités analogues. - La convergence stochastique. - Généralisation de la loi des grands nombres de Bernoulli. - Amélioration, due à Bernstein, de l'inégalité de Tchebychev. - Le lemme de Borel-Cantelli. - L'inégalité de Kolmogorov. - La loi forte des grands nombres. - Le théorème fondamental de la statistique mathématique. - La loi du logarithme itéré. - Suites d'ensembles mélangeantes. - La loi de "zéro-ou-un". - Le théorème des trois séries, de Kolmogorov. - Les lois des grands nombres sur les algèbres de probabilité conditionnelle. - Exercices.
8 - Les théorèmes limites du calcul des Probabilités.
Les théorèmes limites centraux. - Forme locale du théorème limite central. - Le domaine d'attraction de la loi normale. - Convergence vers la loi de Poisson. - Théorème limite central pour les échantillons tirés d'une population finie. - Généralisation des théorèmes limites centraux par application des théorèmes de mélange. - Le théorème limite central dans le cas où le nombre des variables est aléatoire. - Distributions limites pour les chaînes de Markov. - Distributions limites pour les échantillons ordonnés. - Théorèmes limites pour les distributions empiriques d'échantillons. - Distributions limites dans les problèmes de "marche au hasard". - Exercices.
Appendice - Introduction à la théorie de l'information.
La formule de Hartley. - La formule de Shannon. - Information conditionnelle et information relative. - Le gain d'information. - Signification statistique de l'information. - Autres mesures de l'information. - Interprétation statistique de l'information d'ordre alfa. - Définition de l'information pour des distributions quelconques. - Application de l'information à la démonstration des théorèmes limites. - Extension de la théorie de l'information aux algèbres de probabilité conditionnelle. - Exercices.
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