Ludwig SYLOW et Sophus LIE
Préface des Œuvres de Niels Henrik Abel
" En présentant, un demi-siècle après la mort d'Abel, cette nouvelle édition de ses Œuvres au public mathématique, nous osons espérer qu'elle contribuera fortement à ce que ces travaux qui ont tant guidé le mouvement mathématique de notre temps, soient étudiés dans l'original par la génération actuelle de mathématiciens. Abel a eu de grands successeurs; mais pour qui veut continuer dans la voie frayée par lui, il sera toujours profitable de remonter à la source même : les immortelles Œuvres d'Abel."
_______ Siméon Denis POISSON
Rapport à l'Académie des Sciences
" Les recherches qu'Abel a publiées en moins de deux ans dans les journaux de Crelle et de Schumacher prouvent, par leur nombre considérable, l'activité de son esprit et l'ardeur qu'il mettait à cultiver les sciences. Elles sont toutes remarquables par la généralité des considérations que l'auteur y expose et par les vues nouvelles qu'il se proposait de développer. La mort a arrêté ses travaux avant qu'il eût achevé sa vingt-septième année; mais pendant une vie si courte il s'est placé au premier rang parmi les géomètres, et dans ce qu'il a fait la postérité saura reconnaître tout ce qu'il aurait pu faire s'il eût vécu davantage."
_______ G. MITTAG-LEFFLER
Niels Henrik Abel
(La Revue du Mois, n° 19/20, 1907)
" La science du nombre, la mathématique, qui est à la fois la plus ancienne et la plus développée de toutes les sciences, renferme en son histoire beaucoup de noms, qui sont des pierres miliaires sur le parcours de la pensée humaine. Les noms d'Archimède, de Galilée, de Descartes, de Leibnitz et de Newton, d'Euler, de Laplace, de Gauss et de Cauchy, d'Abel, de Riemann et de Weierstrass, évoquent chacun l'image de toute une époque. Ceux qui les portèrent, en dehors de la puissance incisive de la pensée, se sont distingués par d'autres dispositions et particularités personnelles qui saisissent vivement l'imagination. D'aucun d'eux ceci n'est plus vrai que de Niels Henrik Abel, l'étudiant norvégien qui jamais ne prit nul autre titre que celui, fier et modeste à la fois, de mathématicien, et qui, à peu près inconnu dans son propre pays, mourut dans la misère avant vingt-sept ans accomplis, mais était compté comme un égal par son grand contemporain, le " maître des nombres ", princeps mathematicorum, Carl Friedrich Gauss, et a été reconnu par la science de la postérité comme l'un des plus grands penseurs qui aient jamais vécu.
La courte vie d'Abel lui a ravi la possibilité de mettre lui-même en œuvre bien des idées, qui furent l'origine de développements ultérieurs de la science mathématique, ou de tenir des promesses, dont l'accomplissement, dans bien des cas, n'est pas encore réalisé. Et pourtant nul mathématicien, plus qu'Abel, n'a su composer des édifices de pensée construits dans toutes leurs parties essentielles, et même complètement achevés. Les travaux algébriques d'Abel ont amené l'algèbre proprement dite au point qu'elle occupe encore. Sauf la notion de genre introduite par Weierstrass et Riemann, qui, d'ailleurs, est en germe dans Abel, nulle notion nouvelle, au sens le plus profond du mot, n'a guère été ajoutée à son œuvre.
La théorie des fonctions elliptiques est d'un bout à l'autre la création d'Abel. Toutes les propositions principales de la théorie se trouvent chez lui. En même temps son exposition offre l'idéal d'une déduction mathématique. Elle repose sur le plus petit nombre de principes, et chacune de ses propositions est liée organiquement à la précédente et à la suivante.
Le célèbre mémoire d'Abel sur la série du binôme est une des sources les plus importantes de la théorie moderne des fonctions et sera toujours compté parmi les ouvrages classiques de la science : tout se tient, on voit l'ensemble, et la question est épuisée, c'est l'art d'exposition parfait.
Le théorème d'Abel, le " monumentum ære perennius ", selon l'expression enthousiaste du glorieux octogénaire Legendre, est peut-être encore aujourd'hui, avec sa conclusion rigoureuse et sa grande généralité, ce qu'il y a de plus élevé et de plus profond dans la mathématique."
" Il n'existe guère de travail mathématique de quelque importance qui ait paru depuis Abel, et qui n'ait été plus ou moins influencé par lui. Les plus grandes créations mathématiques du siècle dernier, la théorie des fonctions analytiques et la théorie des fonctions abéliennes, sont une continuation directe et immédiate des propres travaux d'Abel. " Lisez Abel " était le premier et dernier conseil de Weierstrass aux élèves de mathématiques, et il est bien certain que personne encore ne peut se faire une idée de l'époque où ce conseil perdra de sa valeur. Lorsque cinquante mathématiciens furent invités à honorer le centenaire d'Abel par la publication d'une collection de mémoires qui, tous devaient être une suite directe à quelque travail d'Abel lui-même, le résulat fut trois grands volumes in-4° que je pus offrir à l'Université de Christiania aux fêtes du centenaire. Parmi les auteurs se trouvent les plus éminents de l'époque. Plusieurs des mémoires ont la plus haute valeur. Tous montrent quels horizons nouveaux les idées d'Abel, de toutes parts, ont ouverts aux recherches.
Abel a lui-même caractérisé le mieux le genre de sa production dans la phrase célèbre qu'il adressait avec un enthousiasme juvénile à Hansteen : " La pure mathématique dans sa plus pure signification doit être à l'avenir ma seule étude. " Hansteen, lui, avait une toute autre conception de la mathématique, qui à ses yeux n'était guère autre chose qu'une science auxiliaire pour l'étude de la nature.
Il est incontestable que la position du problème, dans les grandes découvertes mathématiques, très souvent provient du monde extérieur, d'un effort pour interpréter correctement les données de l'expérience. De là, et à cause des services rendus par les mathématiques aux sciences expérimentales, la conception s'est généralement répandue que l'objet propre des mathématiques est de se mettre au service de ces sciences. Aussi, lorque l'on veut justement glorifier les mathématiques, on le fait volontiers en montrant son utilité pour l'interprétation de faits qui sont hors d'elles. Même ceux qui se rendent mieux compte, se soumettent souvent à cette opinion générale. On se souvient, par exemple, avec quel soin Newton dissimulait que la mathématique du ciel fût un résultat du calcul infinitésimal, on se souvient de l'hésitation de Gauss à publier sa découverte de la véritable essence de l'espace.
Abel est le premier grand mathématicien qui ouvertement et sans détour ait jeté le masque. Pour lui la mathématique porte son idéal en elle-même. Son objet est le nombre."
_______ Émile PICARD
Le centenaire d'Abel
(Journal des Savants, février 1903)
" Le nom d'Abel est à jamais inscrit parmi les noms des mathématiciens les plus célèbres du XIXe siècle, et la brièveté même de sa carrière si courte et si féconde a contribué encore à accroître sa renommée. On lui doit en algèbre la première démonstration rigoureuse de l'impossibilité de résoudre par radicaux les équations de degré supérieur au quatrième, et une classe remarquable d'équations résolubles est restée dans la science sous le nom d'équations abéliennes. Dans la théorie des fonctions elliptiques, Abel s'élevant bien au-dessus des points de vue d'Euler et de Legendre, voit le premier l'importance capitale du problème de l'inversion et de la double périodicité; ses Mémoires sur la multiplication, la division et la transformation des fonctions elliptiques présentent une admirable unité, et il a fallu une incomparable pénétration pour ramener à leurs véritables principes les problèmes traités.
Abel avait été frappé de bonne heure du peu de rigueur que présentaient certaines théories mathématiques, dont se contentaient alors les géomètres, à qui la Mécanique céleste et la Physique mathématique devaient pourtant de si grands progrès. Ses courtes notes sur les séries témoignent d'une remarquable perspicacité. Par une merveilleuse divination, il pressent l'importance que vont prendre dans la Science les séries entières. Ses remarques sur la continuité des fonctions appelaient en même temps, pour la première fois, l'attention sur les dangers de certains modes de raisonnement. Abel est donc, après Cauchy et Gauss, un des maîtres de la première heure dans la révolution d'un caractère hautement philosophique qui devait rendre de nos jours la mathématique si précise dans ses concepts fondamentaux et si inflexible dans la rigueur logique de ses déductions.
Les intégrales et les fonctions elliptiques avaient occupé les premières années de la vie scientifique d'Abel; mais ce sujet, si vaste qu'il fût, n'avait pas tardé à être trop étroit pour son génie. Le difficile problème de la réduction des intégrales hyperelliptiques à des logarithmes et à des intégrales elliptiques l'occupe à plusieurs reprises, et il laisse sa marque profonde sur cette question, qui sollicitera sans doute longtemps encore les efforts des géomètres. Entreprenant ensuite l'étude des intégrales de différentielles algébriques, il découvre la proposition connue sous le nom de Théorème d'Abel. Cette généralisation merveilleuse de l'intégrale d'Euler devait avoir d'immenses conséquences. Elle permit à Abel lui-même de définir le nombre entier que l'on devait appeler plus tard le genre d'une courbe algébrique. Jacobi rendit un juste hommage à celui qui avait été son émule et, sur certains points, son devancier, en proposant pour les intégrales de différentielles algébriques, le nom, resté dans la Science, d'intégrales abéliennes. De même le nom d'Abel est attaché aux fonctions périodiques de plusieurs variables, dont son célèbre théorème établit l'existence et les propriétés fondamentales.
En apprenant la mort prématurée du jeune géomètre norvégien, l'excellent et vénéré Legendre écrivait qu'Abel avait élevé un monument suffisant à donner une idée de ce qu'on pouvait attendre de son génie, ni fata obstetissent. Cet éloge nous paraît aujourd'hui bien faible. Tel qu'il est, le monument inachevé place Abel parmi les plus grands. Qu'il me soit permis, en pensant à sa carrière si courte et si tourmentée, d'évoquer la mémoire d'un géomètre français qui devait brusquement être enlevé à la Science peu de temps après la mort d'Abel, en laissant aussi derrière lui un glorieux souvenir. Évariste Galois* avait fait une étude approfondie de quelques Mémoires fondamentaux d'Abel, et ces deux grands inventeurs se ressemblent par leur étonnante puissance de généralisation et l'ampleur des questions qu'ils soulèvent. Abel et Galois, quels rapprochements ces deux noms suggèrent! Si quelques années de plus leur avaient été données, le développement des mathématiques au XIXe siècle eût été complètement modifié. Peut-être vaut-il mieux cependant, pour des génies de cet ordre, disparaître tout jeunes encore en laissant derrière eux un sillage éclatant, et, en ce sens les anciens avaient raison de dire que ceux qui meurent jeunes sont aimés des dieux. La postérité la plus reculée rattachera toujours au nom d'Abel le domaine immense concernant les intégrales de différentielles algébriques, et dans les Traités sur la théorie des équations algébriques on verra toujours presque à chaque page les mots d'équations abéliennes et de groupes abéliens."
* Évariste GALOIS, Œuvres mathématiques, 1846, réédition Jacques Gabay, 1989.
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