TOME I STATIQUE - DYNAMIQUE DU POINT
Première partie
NOTIONS PRELIMINAIRES
I - Théorie des vecteurs
Définitions - Vecteurs libres ; les trois coordonnées d'un vecteur libre - Vecteurs glissants ; les coordonnées d'un vecteur glissant - Systèmes de vecteurs glissants équivalents. Opérations élémentaires. Réduction d'un système de vecteurs glissants - Vecteurs liés ; les six coordonnées d'un vecteur lié ; centre de vecteurs liés parallèles ; dérivées géométriques - Vecteur polaire ; vecteur axial ; grandeurs scalaires - Autres figures géométriques pouvant être utile en mécanique.
II - Cinématique
Cinématique du point - Translation et rotation d'un système invariable - Vitesse dans le mouvement relatif. Composition des translations et des rotations. Vitesse des points d'un solide libre - Accélérations. Théorème de Coriolis.
III - Principes de la Mécanique classique. Masses, Forces
Principes - Unités de masses et de forces ; homogénéité.
IV - Travail. Fonction de forces
Point matériel - Système de points.
Deuxième partie STATIQUE
V - Équilibre d'un point ; équilibre d'un système
Point matériel - Systèmes de points matériels.
VI - Équilibre d'un solide
Réduction des forces appliquées à un corps solide. Équilibre - Applications. Forces dans un plan. Forces parallèles ; centres de gravité - Suite des applications. Forces quelconques dans l'espace - Corps solides assujettis à des liaisons - Quelques formules pour le calcul des centres de gravité.
VII - Systèmes déformables
Polygone funiculaire - Équilibre des fils - Étude d'une intégrale définie - Élastique plane.
VIII - Principe des vitesses virtuelles
Enoncé et démonstration du principe - Premiers exemples. Systèmes à liaisons complètes. Machines simples - Conditions générales d'équilibre déduites du principe des vitesses virtuelles - Multiplicateurs de Lagrange - Théorèmes généraux déduits du principe des vitesses virtuelles - Liaisons unilatérales.
IX - Notions sur le frottement
Troisième partie DYNAMIQUE DU POINT
X - Généralités. Mouvement rectiligne. Mouvement des projectiles
Théorèmes généraux - Mouvement rectiligne - Mouvement curviligne. Point pesant dans le vide et dans un milieu résistant. Particule électrique.
XI - Forces centrales. Mouvement elliptique des planètes
Forces centrales - Mouvement des planètes - Notions élémentaires de Mécanique céleste.
XII - Mouvement d'un point sur une courbe fixe ou mobile
Mouvement sur une courbe fixe - Mouvement d'un point matériel sur une courbe variable.
XIII - Mouvement d'un point sur une surface fixe ou mobile
Généralités - Cas où la surface est fixe - Mouvement sur une surface de révolution.
XIV - Equations de Lagrange pour un point libre
XV - Principe de d'Alembert ; principe de la moindre action
XVI - Equations canoniques. Théorème de Jacobi. Applications
Equations canoniques - Théorème de Jacobi - Mouvement plan. Mouvement sur une surface - Mouvement dans l'espace - Applications au principe de la moindre action, aux courbes brachistochrones, à l'équilibre des fils.
TOME II DYNAMIQUE DES SYSTÈMES - MÉCANIQUE ANALYTIQUE
XVII - Moments d'inertie
Définitions et exemples - Théorèmes généraux.
XVIII - Théorèmes généraux sur le mouvement des systèmes. Les sept équations universelles du mouvement
Théorèmes des projections et des moments des quantités de mouvement - Théorème des forces vives - Théorèmes de cinématique pour le calcul des moments des quantités de mouvement et de la force vive - Théorèmes des moments et des forces vives dans le mouvement relatif autour du centre de gravité - Énergie.
XIX - Dynamique du corps solide. Mouvements parallèles à un plan
Mouvement d'un corps solide autour d'un axe fixe - Mouvement d'un solide parallèlement à un plan fixe - Frottement de glissement et résistance de milieu - Frottement de roulement.
XX - Mouvement d'un solide autour d'un point fixe
Equations générales - Première application des équations d'Euler au cas où les forces extérieures ont une résultante unique passant par le point fixe - Mouvement d'un solide pesant autour d'un point fixe - Autres problèmes ; emploi d'axes mobiles dans le corps et dans l'espace. Frottement et résistance de milieu.
XXI - Corps solide libre
Généralités - Corps pesant en contact avec un plan horizontal.
XXII - Mouvement relatif
Théorèmes généraux - Mouvement et équilibre relatifs des systèmes - Equilibre et mouvement relatifs à la surface de la Terre.
XXIII - Principe de d'Alembert
Equation générale de la Dynamique - Théorèmes déduits du principe de d'Alembert - Application du principe de d'Alembert au cas du frottement de glissement.
XXIV - Equations générales de la Dynamique analytique
Systèmes holonomes ; équations de Lagrange - Applications des équations de Lagrange - Petits mouvements autour d'une position d'équilibre stable - Oscillations autour d'un mouvement stable - Application des équations de Lagrange au mouvement relatif - Systèmes non holonomes - Liaisons comportant un asservissement.
XXV - Equations canoniques. Théorèmes de Jacobi et de Poisson. Principes d'Hamilon, de la moindre action et de la moindre contrainte
Equations canoniques - Théorème de Jacobi et applications - Théorème de Poisson - Principe d'Hamilton. Principe de la moindre action - Multiplicateur de Jacobi - Propriétés des intégrales. Invariants intégraux - Principe de la moindre contrainte de Gauss.
XXVI - Chocs et percussions
Percussions appliquées à un point matériel - Percussions appliquées à un système - Applications des théorèmes généraux - Equation générale de la théorie des percussions. Théorème de Carnot - Emploi des équations de Lagrange dans la théorie du choc et des percussions.
XXVII - Notions sur les machines. Similitude
Généralités. Volants. Régulateurs - Similitude en Mécanique : modèles.
TOME III EQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS
XXVIII - Intégrales de volumes, de surfaces et de lignes
Intégrales de volumes et de surfaces. Formule de Green. Flux. Divergence - Intégrales de surfaces et de lignes. Théorème d'Ampère et de Stokes. Tourbillon.
XXIX - Attraction et potentiel
Attraction de points isolés - Masses continues. Généralités. Simple et double couche - Volumes - Propriétés générales des fonctions vérifiant l'équation de Laplace - Masses attirantes illimitées. Potentiel logarithmique.
XXX - Équilibre et mouvement intérieur d'une masse continue
XXXI - Hydrostatique
Conditions générales d'équilibre des fluides - Equilibre isotherme - Etude particulière de l'équilibre isotherme des fluides pesants - Equilibre des corps flottants.
XXXII - Déformation d'un milieu continu ; propriétés géométriques
Généralités - Déformation homogène - Retour à une déformation quelconque ; déformation homogène tangente en un point - Déformation infiniment petite.
XXXIII - Cinématique des milieux continus
Variables de Lagrange - Variables d'Euler - Sur la propagation des ondes ; discontinuités dans le mouvement des fluides.
XXXIV - Dynamique des fluides parfaits ; théorèmes généraux
Fluides parfaits ; équations - Equations du mouvement avec les variables de Lagrange - Variables d'Euler - Mouvement permanent en général - Mouvement permanent irrotationnel.
XXXV - Théorie des tourbillons
Propriétés générales - Partie du fluide animée d'un mouvement irrotationnel. Connexion - Détermination des vitesses en fonction des tourbillons dans un liquide indéfini ; mouvement des tourbillons - Détermination des vitesses en fonction des tourbillons dans le cas général - Notations de Clebsch - Recherches de Transon.
XXXVI - Mouvements parallèles à un plan fixe
Mouvement irrotationnel d'un liquide - Mouvements tourbillonnaires d'un liquide - Mouvement plan irrotationnel d'un liquide en contact avec un obstacle fixe. Recherches de Henri Villat.
XXXVII - Fluides baroclines
Dynamique des fluides baroclines - Généralisations diverses de la théorie des tourbillons et des équations de l'hydrodynamique.
XXXVIII - Notions sur la théorie de l'élasticité
Equations de l'équilibre et du mouvement des milieux élastiques isotropes et homogènes pour des déformations infiniment petites - Equilibre élastique - Mouvements intérieurs.
XXXIX - Equations du mouvement d'un fluide visqueux
NOTE SUR LA THÉORIE DE L'ACTION EUCLIDIENNE par E. et F. COSSERAT
I - Statique de la ligne déformable et dynamique du trièdre
Ligne déformable. Etat naturel et état déformé - Action euclidienne de déformation sur une ligne déformable. Force et moment extérieurs ; effort et moment de déformation en un point d'une ligne déformée - Equations de lord Kelvin et Tait. Théorème de Varignon. Notions de l'énergie de déformation et de l'état naturel de la ligne déformable - Forme normale des équations de la ligne déformable. Principe du travail minimum de Castigliano - Notions du trièdre caché et de l'action cachée. La ligne flexible et extensible de Lagrange. Le fil flexible et inextensible de la Mécanique classique - Ligne déformable où l'axe Mx' est tangent en M à (M). Ligne de lord Kelvin et Tait. Equations de Binet et de Wantzel - Ligne déformable où le plan Mx'y' est osculateur en M à (M) ; ligne de Lagrange généralisée par Binet et étudiée par Poisson - Ligne déformable soumise à des liaisons. Equations canoniques - Etat infiniment voisin de l'état naturel. Modules de déformation de Hooke et modules généraux. Valeurs critiques des modules généraux - Dynamique du trièdre.
II - Statique de la surface déformable et dynamique de la ligne déformable
Action euclidienne de déformation sur une surface déformable. Force et moment extérieurs ; effort et moment de déformation - Spécifications diverses de l'effort et du moment de déformation. Notions de l'énergie de déformation et de l'état naturel - La surface flexible et extensible de Poisson et de Lamé. La membrane fluide renfermant comme cas particulier la surface envisagée par Lagrange, Poisson et Duhem. La surface flexible et inextensible des géomètres - Surface déformable où l'axe Mz' est normal à (M) en M. Surface de Sophie Germain et de Poisson. Surface de lord Kelvin et Tait. Dynamique de la ligne déformable.
III - Statique et dynamique du milieu déformable
Action euclidienne de déformation sur un milieu déformable. Force et moment extérieurs ; effort et moment de déformation - Spécifications diverses de l'effort et du moment de déformation. Notions de l'énergie de déformation et de l'état naturel. Théorème de Clapeyron - Le milieu continu de la théorie ordinaire de l'élasticité. Le corps invariable - Action euclidienne de déformation et de mouvement sur un milieu continu en mouvement. La notion d'énergie euclidienne de déformation et de mouvement.
IV - L'action euclidienne à distance, l'action de contrainte et l'action dissipative
Action euclidienne de déformation et de mouvement sur un milieu non continu - L'action euclidienne de contrainte et l'action euclidienne dissipative.
V - L'action euclidienne au point de vue eulérien
L'action de déformation et de mouvement d'un milieu continu au point de vue eulérien. La notion de radiation de l'énergie.
TOME IV-1 FIGURE D'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE LIQUIDE HOMOGÈNE EN ROTATION
Problème. Indications historiques - Attraction et potentiel - Ellipsoïdes de Maclaurin et de Jacobi - Fonctions diverses. Calculs et résultats préliminaires - Fonctions sphériques - Fonctions de Lamé - Figures d'équilibre voisines des ellipsoïdes - Etude de la stabilité des figures d'équilibre - Figures d'équilibre d'une masse homogène en rotation et soumise à la tension superficielle.
TOME IV-2 LES FIGURES D'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE HÉTÉROGÈNE EN ROTATION
FIGURE DE LA TERRE ET DES PLANÈTES
I - Le problème d'Appell. Conditions générales de l'équilibre hydrodynamique
Equation fondamentale d'hydrodynamique. Discussion générale - Équilibre relatif - Mouvement permanent - Mouvement permanent relatif.
II - Etude générale et évolution de la forme d'une masse hétérogène
Etude générale des formes ellipsoïdales - Evolution générale des figures d'équilibres - Ellipsoïdes de révolution homofocaux et homothétiques. Limitation d'une masse hétérogène par deux ellipsoïdes homogènes.
III - La figure de la Terre. Problème de Clairaut et problème de Poincaré
Le problème de Clairaut. Les surfaces de niveau ellipsoïdales - Relations entre la densité et les aplatissements - Le problème de Poincaré - Calculs en seconde approximation.
IV - Questions diverses. La pesanteur. La densité intérieure. Mouvements superficiels. Jupiter et Saturne
La variation de la pesanteur et l'aplatissement de la Terre - Application de différentes lois de densités au problème - Hypothèses autres que celle de Clairaut. Vitesses internes et déplacements à la surface - Jupiter et Saturne. Forme extérieure et constitution interne.
TOME V ELEMENTS DE CALCUL TENSORIEL
APPLICATIONS GEOMETRIQUES ET MECANIQUES
I - Rappel des propriétés fondamentales des formes linéaires et quadratiques
Formes linéaires et substitutions linéaires - Formes quadratiques.
II - Calcul tensoriel
Définitions générales - Algèbre tensorielle - Forme quadratique fondamentale - Lignes géodésiques - Analyse tensorielle - Dérivations covariantes successives. Tenseur de Riemann-Christoffel - Application de la dérivation covariante à l'établissement de quelques formules importantes.
III - Exemples et applications du calcul tensoriel dans l'espace euclidien à trois dimensions
Calcul vectoriel en coordonnées curvilignes - Exemples et applications tirés de la mécanique classique.
IV - Espaces euclidiens à n dimensions
Etude d'un espace euclidien dans le cas où les coefficients de la forme quadratique fondamentale sont des constantes - Coordonnées curvilignes dans un espace euclidien à n dimensions - Déplacement parallèle d'un vecteur - Conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une forme quadratique donnée caractérise un espace euclidien.
V - Espaces riemanniens à n dimensions
Méthode de Levi-Civita. Généralités - Le déplacement parallèle - Courbure d'un espace riemannien - Espaces riemanniens à courbure constante.
VI - Les géométries de Weyl et d'Eddington. Les travaux d'Elie Cartan
La géométrie de Weyl - Les travaux d'Élie Cartan.
VII - Aperçu de la géométrie cayleyenne
Considérations générales - L'édifice euclidien et ses schémas - Les édifices géométriques cayleyens. L'édifice géométrique cayleyen à absolu pseudo-réel - L'édifice géométrique cayleyen à absolu réel - Les déplacements cayleyens.
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