EXTRAIT DE LA PRÉFACE DE L'AUTEUR
J'ai vu souvent que les difficultés, qui arrêtent les Commençants, lorsqu'ils se livrent à l'étude du Calcul infinitésimal, viennent en très grande partie de ce qu'ils veulent s'élever à la connaissance de cette nouvelle branche de l'Analyse, n'ayant encore qu'une teinture assez légère de l'Algèbre commune. Il arrive de là que non seulement ils se trouvent arrêtés dès les premiers pas qu'ils font, mais encore qu'ils se forment des idées fausses de l'infini, dont la vraie notion doit les guider dans leurs opérations et dans l'objet de leurs recherches. Or quoique l'Analyse infinitésimale n'exige pas à la rigueur une connaissance approfondie de l'Analyse ordinaire, et de tous les moyens ingénieux qu'on a trouvés jusqu'à présent pour la perfectionner, on ne peut cependant nier qu'il y ait beaucoup de questions dont le développement est propre à préparer les esprits à l'étude de cette science sublime, et qu'on chercherait en vain dans la plupart des Traités élémentaires d'Algèbre, ou qui, si elles s'y trouvent, y sont traitées d'une manière assez peu exacte. C'est pourquoi je ne doute pas que les matières que j'ai rassemblées dans les deux Livres qui composent cet Ouvrage, ne suppléent abondamment à ce défaut. Car non seulement j'ai fait en sorte de ne rien omettre de ce qu'exige absolument l'Analyse des infinis, et de l'exposer avec plus d'étendue et plus de clarté qu'on ne le fait ordinairement ; mais j'ai de plus résolu un assez bon nombre de questions, qui mettront les Lecteurs à portée de se familiariser insensiblement, et en quelque sorte contre leur attente avec l'idée de l'infini. J'ai aussi traité par les méthodes de l'Algèbre commune plusieurs questions, qui sont ordinairement l'objet de l'Analyse infinitésimale, afin de rendre plus sensible et plus frappant l'accord parfait qu'on remarquera dans la suite entre les deux méthodes.
J'ai divisé ce Traité en deux Livres. Le premier embrasse ce qui a rapport à l'Analyse pure. Dans le second je développe plusieurs questions géométriques, dont la connaissance m'a paru nécessaire ; parce qu'ordinairement en traitant de l'Analyse infinitésimale, on en fait voir en même temps l'application à la Géométrie. J'ai supposé partout la connaissance des premiers Éléments ; et j'ai cru ne devoir expliquer dans ces deux Livres que ce qu'on ne trouverait pas ailleurs, ou du moins y serait traité d'une manière, qui m'a semblé moins avantageuse, ou bien qui supposerait des principes différents des miens.
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EXTRAIT DE L'HISTOIRE DES MATHÉ MATIQUES , DE W. W. ROUSE BALL *
Euler écrivit en 1748 son Introductio in Analysin Infinitorum, ouvrage composé pour servir d'introduction aux mathématiques pures.
La première partie renferme l'ensemble des matières que l'on peut trouver dans les classiques modernes sur l'algèbre, la théorie des équations et la trigonométrie. En algèbre, il s'occupe particulièrement de développer en séries diverses fonctions et de sommer des séries données ; il montre explicitement qu'une série infinie ne peut être sûrement employée si elle n'est convergente. Dans sa Trigonométrie, inspirée en grande partie de l'ouvrage de Mayer, Arithmetic of lines, qui avait été publié en 1727, Euler développe cette idée de Jean Bernoulli que la trigonométrie est une branche de l'analyse et non un simple appendice à l'astronomie ou à la géométrie. Il y introduit (en même temps que Simpson) les abréviations courantes pour les fonctions trigonométriques, et montre que ces dernières et la fonction exponentielle sont liées par la relation
cos θ + i sin θ = eiθ .
La seconde partie roule sur la géométrie analytique. Euler commence par diviser les courbes en algébriques et transcendantes, puis il démontre une série de propositions concernant toutes les courbes algébriques. Il les applique alors à l'équation générale du second degré à deux variables, montre que celle-ci représente les diverses sections coniques, et établit la plupart de leurs propriétés à l'aide de l'équation générale. Il s'occupe également des courbes algébriques, cubiques, quartiques et autres. Il examine ensuite quelles sont les surfaces représentées par l'équation générale du second degré à trois variables et comment on peut les distinguer entre elles : quelques unes de ces surfaces n'avaient pas encore été étudiées. Dans le cours de cette analyse, il donne les formules pour la transformation des coordonnées dans l'espace. Là encore nous trouvons la première tentative faite pour introduire la courbure des surfaces dans le domaine des mathématiques, et la première discussion complète des courbes à double courbure.
* Reprint Éditions Jacques Gabay, 2005.
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